Le equazioni
L'uomo ha sempre costruito macchine per poter facilitare il suo lavoro, ma il lavoro non è solo fisico, esiste anche il lavoro mentale e l’equazioni sono come delle macchine che ci permettono di fare un certo tipo di lavoro mentale senza troppo sforzo.
Risolvere un problema significa trasformarlo in linguaggio matematico, cioè in equazione. Poi si dovrà risolvere l'equazione usando le regole della matematica e la soluzione darà la risposta al problema.
Dobbiamo quindi vedere come si trasforma un problema in linguaggio matematico, cioè dovremo cercare di costruire un vocabolario che ci permetta di tradurre dal linguaggio normale al linguaggio algebrico.
Per risolvere bene un problema bisogna seguire queste semplici regole:
leggere con calma il testo cercando di capire bene tutti i termini
scrivere quello che si conosce (dati) e quello che vuole trovare (incognite)
scrivere le formule per esteso in modo chiaro ed ordinato
eseguire i calcoli con precisione
verificare il risultato ottenuto
Come in tutti i linguaggi anche nel linguaggio della matematica posso dire frasi vere, posso dire bugie e posso dire cose inutili: questo si riflette sulle equazioni relative a quei problemi che potranno essere possibili, impossibili od indeterminati. Vediamo di spiegarci meglio con tre esempi:
avendo il problema di:
trovare il numero che sommato al suo doppio è uguale a sei
adoperiamo x+2x=6 Equazione possibile
questa è una equazione vera che afferma cioè un fatto vero ed unico: sommando ad un certo numero il suo doppio ottengo il numero 6. Con un po' di logica dico che il numero cercato è 2:
Se lo traduco in equazione ottengo:
x + 2x = 6 sommo i monomi simili
3x = 6 per il 2° principio divido entrambe i termini per 3
3x / 3 = 6/3 e semplificando ho la soluzione
x = 2
infatti possiamo fare la verifica in x+2x=6 sostituiamo x=2 abbiamo (2)+2•(2)=6 cioè 2+4 =6 quindi 6 = 6 e questa è un’identità vera. Attenzione se ad x sostiamo un qualsiasi altro numero x diverso da 2 non ottengo mai un’identità vera.
Quando otteniamo la soluzione del tipo x = numero diciamo che l'equazione è possibile
avendo invece il problema di:
trovare il numero che sommato a tre è uguale a sé stesso
adoperiamo x+3=x Equazione impossibile
infatti questa è una equazione che afferma un fatto falso. Pensandoci sopra non posso trovare nessun numero che resti uguale a sé stesso aggiungendovi 3, quindi l’affermazione è impossibile.
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 3 = x
e risolvendo
x - x = -3
0 = -3
quando otteniamo zero uguale a un numero diciamo che l'equazione è impossibile
infine avendo il problema:
trovare il numero che sommato a sé stesso è uguale al suo doppio
scriviamo x+x=2x Equazione indeterminata
questo tipo di equazioni affermano un fatto vero ma che va bene per infiniti numeri (chiamata anche identità); sommando ad un numero se stesso ottengo il doppio del numero è un fatto vero ma che non mi individua il numero perché è vero per qualunque numero.
se lo traduco in equazione ottengo:
x + x = 2x
e risolvendo
2x = 2x
0 = 0
Quando otteniamo zero uguale a zero diciamo che l'equazione e' indeterminata (oppure che e' un'identità).
Riassumendo:
gli esempi visti sono elementari, ma quando ho un'equazione complicata è quasi impossibile dire senza risolverla se è possibile, impossibile od indeterminata ed a questo posso risalire solo dalla soluzione:
x = numero Equazione possibile
0 = numero Equazione impossibile
0 = 0 Equazione indeterminata
Risolvere un problema significa trasformarlo in linguaggio matematico, cioè in equazione. Poi si dovrà risolvere l'equazione usando le regole della matematica e la soluzione darà la risposta al problema.
Dobbiamo quindi vedere come si trasforma un problema in linguaggio matematico, cioè dovremo cercare di costruire un vocabolario che ci permetta di tradurre dal linguaggio normale al linguaggio algebrico.
Per risolvere bene un problema bisogna seguire queste semplici regole:
leggere con calma il testo cercando di capire bene tutti i termini
scrivere quello che si conosce (dati) e quello che vuole trovare (incognite)
scrivere le formule per esteso in modo chiaro ed ordinato
eseguire i calcoli con precisione
verificare il risultato ottenuto
Come in tutti i linguaggi anche nel linguaggio della matematica posso dire frasi vere, posso dire bugie e posso dire cose inutili: questo si riflette sulle equazioni relative a quei problemi che potranno essere possibili, impossibili od indeterminati. Vediamo di spiegarci meglio con tre esempi:
avendo il problema di:
trovare il numero che sommato al suo doppio è uguale a sei
adoperiamo x+2x=6 Equazione possibile
questa è una equazione vera che afferma cioè un fatto vero ed unico: sommando ad un certo numero il suo doppio ottengo il numero 6. Con un po' di logica dico che il numero cercato è 2:
Se lo traduco in equazione ottengo:
x + 2x = 6 sommo i monomi simili
3x = 6 per il 2° principio divido entrambe i termini per 3
3x / 3 = 6/3 e semplificando ho la soluzione
x = 2
infatti possiamo fare la verifica in x+2x=6 sostituiamo x=2 abbiamo (2)+2•(2)=6 cioè 2+4 =6 quindi 6 = 6 e questa è un’identità vera. Attenzione se ad x sostiamo un qualsiasi altro numero x diverso da 2 non ottengo mai un’identità vera.
Quando otteniamo la soluzione del tipo x = numero diciamo che l'equazione è possibile
avendo invece il problema di:
trovare il numero che sommato a tre è uguale a sé stesso
adoperiamo x+3=x Equazione impossibile
infatti questa è una equazione che afferma un fatto falso. Pensandoci sopra non posso trovare nessun numero che resti uguale a sé stesso aggiungendovi 3, quindi l’affermazione è impossibile.
se lo traduco in equazione ottengo:
x + 3 = x
e risolvendo
x - x = -3
0 = -3
quando otteniamo zero uguale a un numero diciamo che l'equazione è impossibile
infine avendo il problema:
trovare il numero che sommato a sé stesso è uguale al suo doppio
scriviamo x+x=2x Equazione indeterminata
questo tipo di equazioni affermano un fatto vero ma che va bene per infiniti numeri (chiamata anche identità); sommando ad un numero se stesso ottengo il doppio del numero è un fatto vero ma che non mi individua il numero perché è vero per qualunque numero.
se lo traduco in equazione ottengo:
x + x = 2x
e risolvendo
2x = 2x
0 = 0
Quando otteniamo zero uguale a zero diciamo che l'equazione e' indeterminata (oppure che e' un'identità).
Riassumendo:
gli esempi visti sono elementari, ma quando ho un'equazione complicata è quasi impossibile dire senza risolverla se è possibile, impossibile od indeterminata ed a questo posso risalire solo dalla soluzione:
x = numero Equazione possibile
0 = numero Equazione impossibile
0 = 0 Equazione indeterminata
problema
un mattone pesa un chilo più mezzo mattone, quanto pesa un mattone?
ragionando è possibile arrivare alla soluzione ma ci vuole un certo sforzo mentale invece è molto facile utilizzando le equazioni.
Quello che voglio trovare lo chiamo incognita x, allora
Peso di un mattone = x
poi metto il problema in un linguaggio più vicino a quello matematico:
Il peso di un mattone è uguale ad un chilo più la metà del peso di un mattone
Traduco:
Il peso di un mattone (x) è uguale (=) ad un chilo (1) più (+) la metà (½) del (•) peso di un mattone (x)
scrivo
x = 1 + ½ x
risolvo come un'espressione
minimo comune multiplo 2
½ (2x) = ½ (2 + x)
Tolgo i denominatori (2° principio)
2x = 2 + x
Porto le x prima dell'uguale (1° principio)
2x - x = 2
sommo i monomi simili
(2-1) x = 2
ho la soluzione
x=2
Peso di un mattone = x = 2. Un mattone pesa 2 chilogrammi.
Abbiamo impostato il problema traducendolo termine a termine in linguaggio matematico e, una volta impostato ho potuto risolverlo in modo quasi automatico facendo ricorso ai due principi di equivalenza delle equazioni ed alle regole del calcolo algebrico.
fonte www.ripmat.it
Cittadinanza La costituzione italiana
principi fondamentali articoli 1 e 4.
Italiano Giuseppe Ungaretti
Lavorò come professore d’Italiano in Brasile.
Storia La seconda guerra mondiale
Il lavoro alla FIAT dei calciatori del Torino durante la II guerra mondiale
Inglese Curriculum vitae
Presentarsi per cercare lavoro.
Matematica Le equazioni
Nel lavoro si devono risolvere problemi anche usando equazioni.
Dpoi La sezione di un volano
Il volano è un serbatoio di energia cinetica.
Meccanica Il volano
principi fondamentali articoli 1 e 4.
Italiano Giuseppe Ungaretti
Lavorò come professore d’Italiano in Brasile.
Storia La seconda guerra mondiale
Il lavoro alla FIAT dei calciatori del Torino durante la II guerra mondiale
Inglese Curriculum vitae
Presentarsi per cercare lavoro.
Matematica Le equazioni
Nel lavoro si devono risolvere problemi anche usando equazioni.
Dpoi La sezione di un volano
Il volano è un serbatoio di energia cinetica.
Meccanica Il volano
L’energia è la capacità di compiere lavoro.
